BannerBannerBanner

Beweise durch Vergleich orientierter Flächen

Thema

Die Orientierte Fläche eines Dreiecks, als area(A, B, C) geschrieben, ist genau dann Null, wenn die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen. Analog ist die orientierte Fläche eines Vierecks area(A, B, C, D) genau dann Null, wenn die Diagonalen AC und BD parallel zu einander sind.

Findet man in der Ebene eine Struktur, bei der jede auftretende Fläche gleich oft mit positivem wie mit negativem Vorzeichen überdeckt wird, so ist die Summe aller auftretenden Flächen zwangsläufig Null. Der einfachste Fall dafür ist der, bei dem eine einzige große Fläche in mehrere Teile unterteilt ist, und jede innere Fläche gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, die äußere Gesamtfläche jedoch im Uhrzeigersinn. Projektionen von räumlichen Polytopen eignen sich ebenfalls, wenn die Orientierung dreidimensional immer von außen betrachtet wird, so dass in der ebenen Projektion der Umriss der Projektion von einer Vorder- und einer Rückseite mit entgegengesetzten Vorzeichen überdeckt wird.

Kombiniert man die beiden oben angegebenen Prinzipien, so lassen sich daraus Beweise ableiten. Wenn eine Summe Null ist, und jeder ihrer Summanden bis auf einen ebenfalls Null sind, so muss auch dieser letzte Summand zwangsläufig Null sein. Übersetzt man das Null-Sein von Summanden wieder in kollineare Punkte sowie parallele Geraden, so kann man aus einer Reihe von Voraussetzungen eine entsprechende Konklusion ableiten. Die ursprüngliche Flächenaufteilung repräsentiert dabei quasi die Struktur dieses Beweises.

Aufgaben

Anforderungen