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Normen

Die $p$-Norm eines $n$-Tupels $(x_1, \ldots, x_n)$ ist definiert als (vgl. normierte Räume»)

\[   \Vert x \Vert_p := \left(\sum_{k = 1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}. \]

Im Applet wird die 1-Sphäre (zweidimensionale Einheitskugel bzgl. der jeweiligen $p$-Norm, also die Menge $\left\{x \in \mathbb{R}^2 : \Vert x \Vert_p = 1 \right\}$) dargestellt.

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Nachfolgend werden verschiedene Niveaubereiche (Colorierung) und die Dreiecksungleichung der $p$-Norm für verschiedene Werte von $p$ visualisiert. Man beachte, dass man nur für $p \in [1, \infty]$ eine echte Norm erhält. Für negative $p$ ist die Dreiecksungleichung verletzt!

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