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Stimmungen

Wir haben im vorhergehenden Applet gesehen, wie sich reine Intervalle aus ganzzahligen Frequenzverhältnissen ergeben. Wie sind nun die restlichen Töne einer Tonleiter einzustimmen, damit sich ein musikalisch stimmiges Gesammtbild ergibt. Wir werden sehen, dass die Antwort hierrauf keineswegs eindeutig ist und man so oder so gewisse Kompromisse eingehen muss.

Wir wollen im folgenden drei Sichtweisen verdeutlichen, die alle drei zu verschiedenen Stimmungen führen (Reine Stimung, Pythagoräische Stimmung, gleichstufige Stimmung), welche alle zu verschiedenen Stilepochen auch unterschiedlichen Gründen relevant waren. Wir beschränken uns dabei auf die Situation der C-Dur Tonleiter, auf schwarze Tasten kommen wir später zu sprechen.

Im folgenden Applet kann man die verschiedenen Stimmungen einstellen. Die weissen Punkte markieren die Töne der Tonleiter, die Positionen der Punkte sind auf einer logarithmischen Skala festgelegt. Somit kann man allein durch deren Position die einzelnen Stimmungen bereits vergleichen. Zu jedem Ton ist das Frequenzverhältnis zum Grundton angegeben (rot). Es ist ebenso das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Töne angegeben (blau). Die gelben Punkte Sind bewegbar und man kann mit ihnen ganz gezielt Frequenzverhältnisse bestimmter Intervalle und Dreiklänge "ausmessen". Klickt man irgendwo in das Applet mit der Maus, ertönt der eingestellte Dreiklang. Bei bedarf kann man den Obertonreicheren Cembalo Klang auswählen.

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Es soll nun die Philosophie hinter den einzelnen Stimungen erläutert werden.

Pythagoräische Stimmung

Die ist historisch gesehen die älteste, obwohl sie keineswegs die einfachsten Zahlenverhältnisse aufweist. Sie kommt aus einer Zeit in der Quinten und Quarten die dominierenden musikalischen Intervalle waren und in der Melodiebildung ein wichtiger musikalischer Aspekt war. Betrachten wir das C als Grundton, so ist es natürlich zumindest dessen Quinte und dessen Quarte hinzu zu nehmen. Somit erhält man das G mit dem Frequenzverhältnis 3/2 als Quinte und das F als Quarte mit dem Faktor 4/3. Nimmt man nun die Quinte der Quinte noch hinzu. so ergibt sich ein Ton der zum Grundton das Frequenzverhältnis 3/2*3/2=9/4 hat. Oktaviert man diesen Ton (d.h. man halbiert die Frequenz), so erhält man ein Frequenzverhältnis von 9/8. Dies ist ein Ton den wir schon bei unseren vorherigen Überlegungen als Ganztonschritt erlebt haben: das D. Bildet man wiederum zu diesem D die Quinte, erreicht man das A mit einem Frequenzverhältnis von 9/8*3/2=27/16. Dieses A ist zudem genau einen Ganzton vom G entfernt. (Das F liegt übrigens genau einen Ganzton unter dem G). Als Quinte zu A ergibt sich ein Ton mit einem Frequenzverhältnis von 27/16*3/2=81/32. Oktaviert man wiederum diesen Ton ergibt sich das pythagoräische E mit einem Verhältnis von 81/64 (welches sich wie wir noch sehen werden vom reinen E unterscheidet). Last not least die Quinte zu E ergibt sich als 81/64*3/2=243/128 und ist der Ton H.

Im Prinzip ergenen sich die Töne der Pythagoräischen Tonleiter als eine folge von Quintschritten beginnend beim F: Der Reihe nach erhält man F-C-G-D-A-E-H wobei man gegebenenfalls durch Frequenzhalbierung die Töne in die richtige Oktavlage bringt.

Trotz der relativ "krummen" Zahlen hat die pythagoräische Stimmung einen gewaltigen Vorteil. In der Tonleiter treten nur zwei verschiedene Tonschritte auf. Der Ganzton mit einem Frequenzverhältnis von 9/8 und der pythagoräische Halbton mit einem Frequenzverhältnis von 256/243.

Reine Stimmung

Im Gegensatz zur pythagoräischen Stimmung ist die darauf bedacht möglichst reine Dreiklänge hervorbringen zu können. Wir haben gesehen das ein reiner Durdreiklang sich aus dem Tonverhältnis (4:5:6) ergibt. Demgemäß ist ein Dreiklang C-E-G über dem Grundton C durch die Frequenzverhältnisse (1:5/4:3/2) realisierbar. Der Quinte G erhält hierbei wieder das Verhältnis 2/3. Die Terz E wird auf das Verhältnis 5/4 eingestimmt (und erhält somit einen anderen Wert als in der pythagoräischen Stimmung). Vergleich man den Wert des pythagoräischen E (81/64) mit dem reinen E (5/4) so ergibt sich ein Verhältnis von (81/64):(5/4)=81/80. Das pythagoräische E ist also um den Faktor 81/80 höher als das reine E.

Die anderen Töne der Reinen Stimmung ergeben sich aus dem Bedürfnis reine dreiklänge über der Quarte F und der Quinte G aufbauen zu können. Für den Dur-Dreikang F-A-C ergibt sich der Wer für das A zu 4/3*5/4=5/3. Für den Dur-Dreiklang G-H-d ergibt sich der Wert für das H als 3/2*5/4=15/8 und der Wert für das d ist 3/2*3/2=9/4 was wieder (nach oktavieren) auf unser altes pythagoräisches D mit einem Verhältnis von 9/8 führt.

Obwohl die reine Dur-Tonleiter drei reine Dreiklänge enthält, ist sie als Tonleiter im Gegensatz zu pythagoräischen Tonleiter wesentlich schwieriger zu singen. Sie enthält nämlich drei verschiedene Tonschritte: Den großen Ganzton (9/8), den kleinen Ganzton (10/9) und den Halbton (16/15).

Gleichstufige Stimmung

Die ist die in unserem Kulturkreis derzeit am meisten verbreitete. In der gleichstufigen Stimmung werden zumeist die Tasten eines Klaviers, einer Orgel oder eines Akkordeons, oder die Bünde einer Gitarre eingestimmt. Dennoch handelt es sich bei der gleichstufigen Stimmung letztlich um eine Art Kompromiss der versucht viele verschiedene Bedürfnisse unter einen Hut zu bringen. Wir haben bei den beiden obigen Stimmungen gesehen, dass man unter verschiedenen Aspekten den Tönen verschiedene Frequenzverältnisse zuordnet. Legt man Wert auf eine reine Terz so sollte man das E mit Verhältnis 5/4 einstimmen. Sind wie in der Pythagoräischen Stimmung Quinten wichtig, so sollte man das E auf 81/64 einstimmen.

Wesentlich verzwickter wird die ganze Situation, wenn man versucht auch über beliebigen anderen Tönen Dur-Dreiklänge aufbauen zu können. Überlegungen darüber führen zu der Einführung von schwarzen Tasten (Töne, die in der normalen Dur-Tonleiter noch nicht enthalten sind). Will man beispielsweise über dem D einen Durakkord aufbauen, so haben wir das A als Quinte von D bereits zur Verfügung (in der reinen Stimmung ist dies allerdings leicht bereits verstimmt). Es fehlt uns in unserem bisherigen Tonsystem jedoch noch ein geeigneter Ton für die Terz. Diese müsste irgendwo zwischen unserem bisherigen F und unserem bisherigen G liegen. Dies führt zur Einführung des Tones Fis. Versucht man aber noch weitere Akkorde mit möglichst reinen Terzen und Quinten zu realisieren, so läuft man unweigerlich auf Konflikte.

Die Gleichstufige Stimmung versucht nun dieses Dilemma dadurch zu lösen, dass man sich bei der Tonleiter (wie bei der pythagoräischen Tonleiter) auf zwei Tonschritte einigt, den Ganzton-Schritt und den Halbton-Schritt. Hierbei soll allerdings (im Gegensatz zur Pythagoräischen Tonleiter) der Ganzton-Schritt genau zwei hintereinander ausgeführten Halbtonschritten entsprechen. Hat also ein Halbton-Schritt das Frequenzverhältnis $h$ so hat ein Ganzton-Schritt das Frequenzverhältnis $h\cdot h=h^2=g$. Hierraus und aus der (ungefähren) Struktur der Dur-Tonleiter läßt sich berechnen wie groß diese Frequenzverhöltnisse für $h$ und $g$ sein müssen. In der Abfolge der Dur-Tonleiter ergibt sich folgende Sequenz von Ganz- und Halbton-Schritten:

\[ C \stackrel{g}\longrightarrow D  \stackrel{g}\longrightarrow E \stackrel{h}\longrightarrow F \stackrel{g}\longrightarrow G \stackrel{g}\longrightarrow A \stackrel{g}\longrightarrow H \stackrel{h}\longrightarrow c \]

Es sind also insgesamt zwei Halbton- und fünf Ganzton-Schritte notwendig um eine Oktave zu erhalten. Also muss gelten $h\cdot h \cdot g \cdot g \cdot g \cdot g \cdot g = h^2 \cdot g^5 =2 $. Nutzt man zusätzlich noch aus, dass $h^2=g$. gilt, so erhält man $h^2 \cdot g^5 = h^{12}=2$. Das Intervall für den Halbton-Schritt $h$ muss also die zwölfte Wurzel aus 2 (also $\sqrt[12]{2}\approx 1.059\ldots$ sein. Ein Ganzton ergibt sich zu $h^2=(\sqrt[12]{2})^2=\sqrt[6]{2}\approx 1.122\ldots$.

Man hat es jetzt zwar leider nicht mehr mit ganzen Zahlenverhältnissen zu tun und alle reinen Intervalle werden nur angenähert getroffen. (Die Terz ergibt sich zu $1.259\ldots$ statt zu $1.25$; Die Quinte ergibt zu $1.498\ldots$ anstatt zu $1.5$.) Auf der anderen Seite läßt sich jeder Ganzton in exakt zwei Halbtöne unterteilen, und fügt man diese Halbtöne (die schwarzen Tasten) hinzu, so ist jeder einzelne Ton den Skala den anderen vollkommen gleichberechtigt.

Die Untenstehende Skala verdeutlicht nochmal die Verhältnisse in der Stimmung nachdem die schwarzen Tasten eingefügt wurden. Alle Halbtonabstände sind vollkommen gleich. Über jedem Ton läßt sich ein Dur-Akkord aufbauen, der zwar nicht vollkommen rein gestimmt ist, dieser Klangideal aber dennoch recht nahe kommt.

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Es ist auch interessant dies mit Halbtonschritten zu vergleichen, die man bei der Methode erhält. Nehmen wir das C als Ausgangspunkt und bilden 6 reine Quintschritte C-G-D-A-E-F-Fis von C weg und 5 reine Quintschritte Des-As-Es-B-F-C auf das C zu, so erhalten wir auch annähernd die Töne der gleichstufigen Stimmung. Bringen wir alle Töne in die gleiche Oktavlage, so sehen wir dass nun quasi zwei verschiedene Sorten von Halbton-Schritten auftreten. Ein großer Halbton-Schritt mit einem Verhältnis von $2187\over 2048$ und ein kleiner Halbtonschritt mit einem Verhältnis von $256\over 243$. Das C und das G spielen hierbei eine Sonderrolle. Dies sind nämlich die einzigen beiden Töne, die von zwei kleinen Halbtonschritten benachbart werden. Alle anderen Töne sind von einem großen und einem kleinen Halbton-Schritt benachbart.