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Möbiustransformationen aus dem Bild dreier Punkte

Eine Möbiustransformation

\[ z\mapsto{az+b\over cz+d} \]

hat vier Parameter $a,b,c,d$, durch die sie festgelegt wird. Tatsächlich können aber unterschiedliche Parameterwahlen zu einer exakt gleichen geometrischen Transformation führen. Ersetzt man nämlich $a,b,c,d$ durch $\lambda a, \lambda b,\lambda c,\lambda d$ für $\lambda\ne0$, so erhält man die Transformation

\[ z\mapsto{\lambda az+\lambda b\over \lambda cz+\lambda d}, \]

bei der man das $\lambda$ wieder ausklammern und dann kürzen kann.

Von den ursprünglich vier komplexen Parametern bleiben also effektiv nur drei übrig, da man einen durch die Multiplikation mit einem geeigneten Faktor auf $1$ bringen kann. Da jede komplexe Zahl aus zwei reellen Zahlen zusammengesetzt ist, bleiben alles in allem sechs reelle Freiheitsgrade.


Die sechs reellen Freiheitsgrade können so interpretiert werden, dass im Allgemeinen eine Möbiustransformation durch die drei Bilder dreier Punkte eindeutig festgelegt ist.

Das folgende Applet demonstriert diesen Effekt.

Es wird eine Möbiustransformation bestimmt, die die drei roten Punkte $A,B$ und $C$ auf die drei grünen Punkte $D,E$ und $F$ abbildet. Da bei einer Möbiustransformation Kreise und Geraden wieder auf Kreise und Geraden abgebildet werden, geht dabei der Kreis durch die roten Punkte auf den entsprechenden Kreis durch die grünen Punkte über. Iteriert man diese Abbildung, so erhält man die dargestellte Menge von Kreisen. Auch hier ist die Spiralstruktur wieder gut erkennbar.

Eine (Knopf drücken) ergibt sich, wenn die drei Punkte so liegen, dass das Bild des Umkreises der grünen Punkte gänzlich in sich selbst enthalten ist. Die iterierte Abbildung ergibt dann eine ineinander geschachtelte Folge von Kreisen. Diese Art der Abbildung wird für die bei Indra's Pearls erzeugten Bilder noch sehr wichtig werden.


Inverse einer Möbiustransformation $\hookleftarrow$ Inhaltsverzeichnis $\hookrightarrow$ Möbiustransformationen aus zwei Fixpunkten