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Wo stand der Fotograph?

Bei einem der vorhergehenden Applets haben wir festgestellt, dass ein Kegelschnitt durch vier Punkte und einen Wert für ein Doppelverhältnis festgelegt ist. Haben wir nun ein Foto mit mindestens fünf markanten Punkten und eine Karte der zugehörigen Gegend, können wir mithilfe von Kegelschnitten und Doppelverhältnissen die Position des Fotographen bestimmen. Wir beschreiben das Verfahren anhand des folgenden Beispiels:

Unten sehen Sie ein Applet mit einem Panoramafoto von München und einer passenden Karte. Wir wollen nun herausfinden von wo das Foto gemacht wurde. Dazu setzen wir zu allererst einmal die Punkte $A,\ldots,E$ im Panoramafoto auf fünf markante Punkte, die wir später in der Karte wieder finden. Es eigenen sich z.B. die Spitze der Staatskanzlei oder die Türme der Frauenkirche. Für den zweiten Schritt setzen Sie die Punkte $A',\ldots, E'$, die Sie neben der Karte finden, an die entsprechenden Stellen auf der Karte, d.h. wenn Sie z.B. mit dem Punkt $A$ auf dem Panoramafoto die Türme der Frauenkirche markiert haben, setzen Sie den Punkt $A'$ an die Stelle der Karte, an der sich die Frauenkirche befindet. Der dritte Schritt ist es mehrere Kegelschnitte zu bestimmen. Dafür wählen wir vier Punkte im Panoramafoto, z.B. $A,B,C,D$. Wir sehen diese Punkte auf dem Foto unter einem bestimmten Doppelverhältnis, welches wir aus dem Panoramafoto berechnen können. Wie wir wissen legen diese vier Punkte und der zugehörige Wert einen Kegelschnitt fest, auf dem sich die vier Punkte und auch der Punkt, von dem aus das Doppelverhältnis gebildet wurde, befinden. Dieser zusätzliche Punkt ist aber nichts anderes als der Standort des Fotographen. Somit haben wir den Standort des Fotographen zumindest schon mal auf einen Kegelschnitt eingeschränkt. Da wir aber fünf Punkte auf dem Foto haben, können wir diese Konstruktion ein zweites Mal durchführen (z.B. mit den Punkten $B,C,D,E$). Dies liefert eine weiteren Kegelschnitt. Der noch unbenannte Schnittpunkt der beiden Kegelschnitte (die anderen wären $B,C,D$) ist dann der Standort des Fotographen.

Im Applet sind Kegelschnitte bereits eingezeichnet. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, stellt sich heraus, dass das Foto vom Monopterus im Englischen Garten aufgenommen wurde.

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Satellitenbild: GoogleMapsTM