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Tangentialkreise an zwei Kreise

Die so genannten Lie-Koordianten und das dazu gehörige Lie-Produkt ermöglichen es einem bequem und elegant mit Kreisen und Tangentialitäten zu arbeiten. Im Applet ist eine typische geometrische Situation gegeben, bei der man mit Lie-Koordinaten einfach an die gewünschte Lösung kommt. Es darum zu zwei gegeben Kreisen eine weiteren Kreis zu bestimmen, der tangential zu den anderen beiden ist. Auf Ebene von Lie-Koordinaten würde sich diese Ergebnis als Lösung zweier lineare und einer quadratischen Gleichung ergeben, was einfach auszurechnen ist.

Man kann aber auch auf anderem Wege zur Lösung gelangen. Dafür betrachten wir einmal die Gärtnerkonstruktion für Ellipsen:

Gegeben zwei Punkte $A,B$ (rote Punkte) und eine Länge $l < |A,B|$. Die Menge aller Punkte $C$, für die $|A,C| + |B,C| = l$ gilt, ist eine Ellipse.

Wenn man die Länge $l$ passend wählt, erhält man über die Gärtnerkonstruktion die Mengen aller Punkte, die gleich weit von zwei Kreisen mit den Mittelpunkten $A$ und $B$ entfernt sind. Auf dieser Menge liegen alle Mittelpunkte der Kreise, die tangential an die anderen beiden sind. Jetzt muss man nur den speziellen Mittelpunkt den Radius geeignet wählen.

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