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Bestimmung einer Dreiecksfläche

Die Hälfte der Fläche des Parallelogramms $(O,v_1,v_1+v_2,v_2)$ ist die Fläche des Dreiecks $(O,v_1,v_2)$. Demnach lässt sich diese (orientierte) Fläche durch

\[ \Delta(O,v_1,v_2)={1\over 2}\det\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\;=\;{ad-bc\over 2} \]

berechnen. Auch hier gibt das Vorzeichen des orientierten Flächeninhalts Auskunft über die relative Lage der beiden Vektoren zueinander.

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Will man den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks $(v_1,v_2,v_3)$ bestimmen, so kann man dies durch Aufsummieren geeigneter Determinanten von Paaren von Vektoren erreichen. Man erhält:

\[ \Delta(v_1,v_2,v_3)={1\over 2}(\det(v_1,v_2)+\det(v_2,v_3)+\det(v_3,v_1)) \]

Hierbei sorgen die Vorzeichen der Determinanten dafür, dass sich die drei Teildreiecke so aufaddieren, dass am Schluss genau die gesuchte Dreiecksfläche übrig bleibt. Im folgenden Applet sind positive Flächenstückchen grün, negative rot markiert (Achtung, sollten sich grün und rot überlappen, so entsteht ein leicht rotbrauner Ton).

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Erstaunlicherweise lässt sich die berechnete Summe der drei $2\times 2$-Determinanten auch als eine einzige Determinante schreiben. Gilt $v_i=(x_i,y_i)$, so kann man die folgende Formel leicht durch Nachrechnen überprüfen:

\[ 2\cdot\Delta(v_1,v_2,v_3)=\det\left(\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\\\end{array}\right)\;=\;\det(v_1,v_2)+\det(v_2,v_3)+\det(v_3,v_1) \]