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Möbiustransformationen

Eine Möbiustransformation

\[ z\mapsto{az+b\over cz+d} \]

hat vier Parameter $a,b,c,d$, durch die sie festgelegt wird. Tatsächlich können aber unterschiedliche Parameterwahlen zu einer exakt gleichen geometrischen Transformation führen. Ersetzt man nämlich $a,b,c,d$ durch $\lambda a, \lambda b,\lambda c,\lambda d$ für $\lambda\ne0$, so erhält man die Transformation

\[ z\mapsto{\lambda az+\lambda b\over \lambda cz+\lambda d}, \]

bei der man das $\lambda$ wieder ausklammern und dann kürzen kann.

Von den ursprünglich vier komplexen Parametern bleiben also effektiv nur drei übrig, da man einen durch die Multiplikation mit einem geeigneten Faktor auf $1$ bringen kann. Da jede komplexe Zahl aus zwei reellen Zahlen zusammengesetzt ist, bleiben alles in allem sechs reelle Freiheitsgrade.


Die sechs reellen Freiheitsgrade können so interpretiert werden, dass im Allgemeinen eine Möbiustransformation durch die drei Bilder dreier Punkte eindeutig festgelegt ist.

Das folgende Applet demonstriert diesen Effekt.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Es wird eine Möbiustransformation bestimmt, die die drei roten Punkte $A,B$ und $C$ auf die drei grünen Punkte $D,E$ und $F$ abbildet. Da bei einer Möbiustransformation Kreise und Geraden wieder auf Kreise und Geraden abgebildet werden, geht dabei der Kreis durch die roten Punkte auf den entsprechenden Kreis durch die grünen Punkte über. Iteriert man diese Abbildung, so erhält man die dargestellte Menge von Kreisen.

Viel mehr informationen zu Möbiustransformationen findet sich z.B. hier.