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Doppelverhältnis im CP1

In $\mathbb{CP}^1$ gibt es einen Satz der Kozirkularität und Doppelverhältnisse in Beziehung setzt. Er lässt sich mithilfe des Satzes vom Fasskreisbogen zeigen und lautet wie folgt:

Vier Punkte $A,B,C,D \in \mathcal{C}$ liegen genau dann auf einem Kreis, wenn das Doppelverhältnis $(A,B;C,D)$ reell ist.

Das bedeutet aber auch, dass das Doppelverhältnis $(A,B;C,D)$ komplex ist, wenn z.B. der Punkt $D$ nicht auf dem Kreis durch $A,B,C$ liegt. Ferner gilt bei der momentanen Anordnung der Punkte $A,B,C$ auf dem Kreis, dass das Doppelverhältnis einen positiven Imaginärteil hat, wenn $D$ außerhalb des Kreises liegt und negativen, wenn $D$ innerhalb liegt. Vertauscht man die Anordnung zweier Punkte, so drehen sich auch die Vorzeichen des Imaginärteils um.

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