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Doppelverhältnis auf Kegelschnitt

Kegelschnitte und Doppelverhältnisse stehen in einem besonderen Zusammenhang. Um diesen auf den Grund zu gehen, führen wir zuerst das Doppelverhältnis von einem speziellen Punkt aus gesehen ein. Das Doppelverhältnis $(A,B;C,D)_P$der Punkte $A,B,C,D$ vom Punkt $P$ aus gesehen, definieren wir wie folgt:

\[ (A,B;C,D)_P = \frac{[P,A,C]\cdot [P,B,D]}{[P,A,D]\cdot [P,B,C]}. \]

Mit dieser Definition können wir nun einen Satz formulieren, der Kegelschnitte und Doppelverhältnisse in Beziehung setzt. Es gilt:

Es sei $\mathcal{C}$ der Kegelschnitt durch die fünf Punkte $A,B,C,D,E$.

Dann ist $\mathcal{C} = \{P \in \mathcal{P} : (A,B;C,D)_P = (A,B;C,D)_E  \}$.

D.h. bereits vier Punkte und ein Wert für das Doppelverhältnis legen einen Kegelschnitt fest.

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