Mathe Vital BannerZentrum Mathematik BannerTUM Banner

Konstruktion eines harmonischen Punkte

Vier kollineare Punkte $A,B,C,D$ sind in harmonischer Lage, wenn ihr Doppelverhältnis $(A,B;C,D)=-1$ ist. Angenommen wir haben nun drei kollineare Punkte $A,B,C$ gegeben und wollen nun einen Punkt $D$ konstruieren, für den gilt $(A,B;C,D)=-1$. Dafür führen wir die folgenden Konstruktion durch:

Dann gilt, dass $(A,B;C,D)=-1$ ist. Die Konstruktion ist unabhängig von der speziellen Wahl von $1$ und $2$, was man einfach im Applet nachprüft.

Zusätzlich gibt es im Applet noch einen Punkt $D'$ und es wird das Doppelverhältnis $(A,B;C,D')$ angezeigt. Wenn Sie den Punkt $D'$ bewegen, stellen Sie fest, dass das Doppelverhältnis $(A,B;C,D')$ den Punkt $D'$ in Bezug zu den Punkte $A,B,C$ setzt. Die Punkte $A,B,C$ spielen dabei die Rolle einer projektiven Skala, bei der $A =\infty$, $B = \mathbf{0}$ und $C = \mathbf{1}$ gilt.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.