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Kreuzprodukt zum Berechnen der Verbindungsgeraden

Im Folgenden wollen wir die Verbindungsgerade zweier Punkte der euklidischen Ebene berechnen. Dafür sei die euklidische Ebene wieder auf dem Niveau $z=1$ im $\mathbb{R}^3$ eingebettet. Ferner seien zwei Punkte der Ebene gegeben, deren homogene Koordinaten wir mit $[A]$ und $[B]$ bezeichnen. Der Punkt $[A]$ liegt genau dann auf der Geraden $[g]$, wenn $\langle A,g \rangle = 0 $ gilt. Somit muss für die Verbindungsgerade $[g]$ von $[A]$ und $[B]$ Folgendes gelten:

\[ \langle A,g \rangle = \langle B,g \rangle = 0 \iff A,B \perp g. \]

Diese Forderung bestimmt $[g]$ eindeutig. Es gilt nämlich $[g] = [A\times B]$ und da skalare Vielfache ungleich Null bei homogenen Koordinaten keine Rolle spielen, können wir einfach $A\times B$ als Repräsentanten für die Verbindungsgerade wählen.

Es gibt aber auch eine schöne geometrische Interpretation dieses Zusammenhangs, die im Applet zur Geltung kommt. Die Verbindungsgerade von $[A]$ und $[B]$ ergibt sich in der Einbettung als Schnittgerade der eingebetteten Ebene und der Ebene, die durch die beiden Vektoren $A$ und $B$ aufgespannt wird. Der Vektor, der die Verbindungsgerade nun repräsentiert, ist aber nichts anderes als der Normalenvektor, der von $A$ und $B$ aufgespannten Ebene.

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Zum Abschluss noch zwei kleine Fragen zum selber Knobeln: Wenn wir nun zwei Geraden über ihre homogenen Koordinaten gegeben haben, wie erhalten wir dann die homogenen Koordinaten ihres Schnittpunkts? Welche geometrische Situation ergibt sich in diesem Fall?