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Homogene Koordinaten der Ebene

Wir wollen die euklidische Ebene im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ einbetten. Dabei soll gewährleistet sein, dass die Ebene den Ursprung nicht enthält. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dies zu tun, aber als rechnerisch am einfachsten erweist sich die Einbettung parallel zur $xy$-Ebene auf dem Niveau $z=1$. Jeder Punkt der eingebetteten Ebene (im Applet der Punkt A) ist Schnittpunkt eines eindimensionalen Untervektorraums des $\mathbb{R}^3$ (blauer Pfeil im Applet) und der Ebene.

Somit gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten der eingebetteten Ebene und
den eindimensionalen Untervektorräumen des $\mathbb{R}^3$, die nicht komplett in der $xy$-Ebene liegen.

Stellt sich nun die Frage nach den eindimensionalen Untervektorräumen, die die Ebene nicht schneiden. Ihnen kommt ebenfalls eine Interpretation zu. Wenn wir diese Untervektorräume als Geradenrichtungen auffassen, können wir jedem Parallelbüschel der Ebene einen eindimensionalen Untervektorraum, der komplett in der $xy$-Ebene liegt, zuordnen.

Somit gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen den Fernpunkten und den eindimensionalen
Untervektorräumen des $\mathbb{R}^3$, die komplett in der $xy$-Ebene liegen.

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Wir wollen nun das Ganze formal fassen. Im Folgenden wollen wir die homogenen Koordinaten der Punkte definieren. Dafür müssen wir jeden eindimensionalen Untervektorraum des $\mathbb{R}^3$ darstellen. Jeden der eindimensionalen Untervektorräume können wir mittels eines Vektors repräsentieren, der diesen aufspannt. Diese Darstellung ist aber nicht eindeutig, da alle skalaren Vielfachen ungleich Null dieses Vektors ebenso den Untervektorraum aufspannen. Um eine eindeutige Darstellung zu erhalten, müssen wir all diese Vielfachen identifizieren. Aus diesem Grund erhalten wir die Quotientenstruktur

\[ \mathcal{P} = \frac{\mathbb{R}^3 \setminus \{(0,0,0)^T\}} {\mathbb{R} \setminus \{0\}} \]

Jede Äquivalenzklasse $[P] = \{ \lambda \cdot P : \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\} $ der Menge $\mathcal{P}$ entspricht entweder einem Punkt der euklidischen Ebene oder einem Fernpunkt. Die Äquivalenzklassen, die den Punkten der Ebene entsprechen, haben einen Repräsentanten mit einer von Null verschieden $z$-Koordinaten, wohingegen die Äquivalenzklassen, die die Fernpunkte repräsentieren, eine verschwindende $z$-Koordinate besitzen. Ist nun

\[ [P] = \left[ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right) \right] \]

eine Äquivalenzklasse mit $z \ne 0$, so entspricht $P$ einfach dem Punkt

\[  \left( \begin{array}{c} x/z \\ y/z \end{array} \right)  \]

der euklidischen Ebene. Haben wir im Gegensatz dazu die Äquivalenzklasse

\[  \left[ \left( \begin{array}{c} -b\\ a\\ 0 \end{array} \right) \right], \]

so entspricht diese dem Fernpunkt, in dem sich Geraden der Gestalt $\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 : ax +by + c = 0\}$ treffen.

Ebenso wie den Punkten können wir den Geraden der euklidischen Ebene homogene Koordinaten zuweisen. Da eine Gerade durch die Gleichung $ax+by+c=0$ beschrieben wird, liegt es nahe eine Gerade mittels des Vektors

\[ g = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array} \right)  \]

zu repräsentieren. Da die beschreibende Gleichung eine homogene Gleichung ist, führen die Vektoren $g$ als auch $\lambda \cdot g$ mit $\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ auf dieselbe Gerade. Somit können wir dieselbe Quotientenstruktur benutzen, um die Menge der Geraden $\mathcal{G}$ zu repräsentieren. Wir erhalten also die homogenen Koordinaten der Geraden. Jede Äquivalenzklasse

\[ [g] = \left[ \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \right] \]

mit $(a,b)^T\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)^T\}$ entspricht nun der Geraden $\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 : ax +by + c = 0\}$. Analog zu den Fernpunkten ergibt sich hier eine Ferngerade. Ihr entspricht die Äquivalenzklasse $[(0,0,1)^T]$.

Zum Abschluss bleibt noch zu klären, ob die homogenen Koordinaten der Punkte und Geraden verträglich mit der Inzidenzrelation $\mathcal{I}$ sind. Es seien nun $[P]$ und $[g]$ die homogenen Koordinaten eines Punkts und einer Geraden. Wir definieren nun:

\[ [P]\; \mbox{liegt auf} \; [g] \iff \langle P, g \rangle = 0, \]

wobei $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet. Da das Standardskalarprodukt eine Bilinearform ist, ist es offensichtlich, dass die Definition verträglich mit der Äquivalenzklassenblidung ist. Also können wir o.B.d.A. annehmen, dass $P=(x,y,1)^T$ gilt. Somit ergibt sich

\[ [P]\; \mbox{liegt auf} \; [g] \iff \langle P, g \rangle =\left\langle \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \right\rangle = ax+by+c = 0, \]

woraus die Verträglichkeit der Inzidenzrelation $\mathcal{I}$ folgt. Das Tripel $(\mathcal{P},\mathcal{G},\mathcal{I})$ nennt man die reelle projektive Ebene $\mathbb{RP}^2$.