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2D-Kurvenplotter

Der 2D-Kurvenplotter liefert ebene parametrisierte Kurven $ \gamma: I=(t_0,t_1) \subset \R \rightarrow \R^2\;,\;\;\gamma(t)=(x(t),y(t))$.

Dabei kann man die Parametergrenzen $t_0,t_1$ und die Parameterdarstellung $(x(t),y(t))$ in den gelben Feldern eingeben (ggfs. mit einem Formparameter $a \in [-1,1]$ ). Ferner kann man den Zeichenbereich Zoomen und den Ursprung verschieben.

Mit den Schaltern "Tangente" und "Krümmungskreis" können diese geometrischen Begriffe eingeblendet werden.

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2D-Kurvenplot.cdy

Als Ausgangsbeispiel ist die Kurve $\gamma:(0,2\pi)\rightarrow \R^2, \gamma(t)=\frac{1}{2\cdot a+cos\;t}(cos\;t,sin\;t)$ mit dem Formparameter $a=1$ aus der Vorlesung gewählt. Diese Kurve ist eine Ellipse.

Für |a|>0.5 erhält man Ellipsen, für |a|=0.5 eine Parabel, für 0<|a|<0.5 Hyperbeln und für a=0 eine Gerade. Alle diese Kegelschnitte haben den Ursprung O als Brennpunkt, was man durch Elimination des Kurvenparameters t wie folgt sieht:

Aus $\;x(t)=\frac{cos\;t}{2a+cos\;t}\;$ folgt $\;cos\;t=\frac{2ax}{1-x}\;\;$; Aus $\;y(t)=\frac{sin\;t}{2a+cos\;t}\;\;$ folgt damit $\;sin\;t=\frac{2ay}{1-x}\;$ was zusammen mit

$\;(cos\;t)^2+(sin\;t)^2=1\;$ die "Koordinatengleichung" $\;\gamma(I):\;\; 4a^2(x^2+2y^2)=(1-x)^2\;\;\;$ liefert.