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Gitterpunkte

Kerne.png
Bildquelle: Wikimedia-Commons
Regelmäßige Punktanordnungen : Nun kommt der entscheidende und leider nicht ganz einfach zu erklärende Punkt, der den Goldenen Schnitt, Fibonacci-Zahlen und Pflanzenwachstum miteinander in Verbindung bringt. Im Blütenstand einer Blume sind die einzelnen Knospen oder Samenkörner sehr regelmäßig angeordnet. Die Anordnung erfolgt so, dass jedem einzelnen Korn dabei möglichst viel Platz zur Verfügung gestellt werden kann. Es gibt eine erstaunlich einfache Regel, wie man eine solche Anordnung erreichen kann, und eben diese hat mit dem Goldenen Schnitt und Fibonacci-Zahlen zu tun. Durch bestimmte Wachstumsprozesse (die im letzten Detail noch nicht verstanden sind) werden diese Wachstumsformen in Pflanzen umgesetzt.

Wir betrachten zunächst eine vereinfachte Form dieser Anordnung: In Pflanzen wachsen die Samenkörner in einer spiralförmigen Form um ein Zentrum herum. Wir werden diese spiralförmige Form aufschneiden und in eine flache, zweidimensionale Anordnung bringen.

Stellen wir uns eine zylinderförmige Pflanze vor (wie z.B. eine Ananas oder einen Maiskolben). Wir nehmen die Oberfläche der Pflanze, schneiden diese in Richtung der Zylinderachse auf und rollen das so entstandenen Rechteck in die Ebene aus. Wir können uns das als einen rechteckigen Streifen Papier vorstellen, der die Eigenschaft hat, dass wir den rechten und den linken Rand in Gedanken miteinander verkleben. Läuft man also zum rechten Rand aus dem Papier heraus, so kommt man auf gleicher Höhe am linken Rand wieder herein.

Auf diesem Papierstreifen platzieren wir nun Samenkörner nach folgender Regel:

  • Wir setzen das erste Samenkorn in die linke untere Ecke.
  • Für jedes weitere Samenkorn gehen wir um einen festen Abstand $\Delta y$ nach oben.
  • Weiterhin gehen wir nach rechts, und zwar genau um eine Länge $\phi$, die einer Teilung der Papierbreite im Goldenen Schnitt entspricht.
  • Beim Weitergehen nach links beachten wir, dass - wenn wir aus dem rechten Rand herauslaufen - wir auf gleicher Höhe am linken Rand wieder hereinlaufen.

Das Ganze ergibt eine regelmäßige Anordung von Samenkörnern, die eine bemerkenswerte Eigenschaft hat. Wenn wir den Abstand $\Delta y$ verringern, sollte man eigentlich erwarten, dass die Kerne immer näher zusammenrücken und sich gegenseitig stören. Das tun sie auch, aber immer so, dass sie optimal viel Platz haben. Für keine andere Zahl als den Goldenen Schnitt ergibt sich eine so gleichmäßige Verteilung der Körner für beliebige $\Delta y$.

Am Applet unten kann man viele Aspekte dieser so genannten Gitterpackung ausprobieren. Unten sind einige Experimente angegeben, die man mit dem Applet durchführen kann.


Experimente

  • Dichte erhöhen: Nachdem das Applet gestartet wurde, am linken Schieberegler den Abstand $\Delta y$ verringern. Beobachten, wie schön dicht das Gitter immer gepackt ist.
  • Den Goldenen Schnitt stören: Am zweiten Schieberegler kann man den in der x-Richtung verwendeten Goldenen Schnitt geringfügig verkleinern oder vergrößern. Beobachten, wie sich dabei für manches $\Delta y$ die Körner anfangen zu überlappen.
  • Körnerreihenfolge: Aktiviert man den Druckknopf "Zahlen", so wird die Reihenfolge der Körner, beginnend mit 0, angezeigt. Man kann sich hier überzeugen, dass die Körner tatsächlich in der behaupteten Reihenfolge gesetzt wurden.
  • Nachmessen: Aktiviert man den Druckknopf "Messen", so kann man durch Herumschieben einer markierten Strecke nachmessen, dass die Körner auch wirklich in x-Richtung im behaupteten Abstand gesetzt wurden. Steht der Störungsregler in der Mitte, so entspricht dieser Abstand genau dem Goldenen Schnitt.
  • Spiralen beobachten: Das Auge nimmt im Körnermuster eine gitterförmige Struktur wahr. Man bringt dabei immer jedes Korn mit seinen nächsten Nachbarn optisch in Verbindung. Durch Drücken des Schalters "Nachbarn" können diese optisch hervorgehoben werden. Bemerkenswert ist, dass die Anzahl der entstehenden Streifen in jedem Querschnitt immer eine Fibonacci-Zahl ist, egal wie dicht das Muster gepackt ist.
  • Körner markieren: Durch Ziehen des dritten Schiebereglers werden in regelmäßigen Abständen die Körner markiert. Experimentieren lohnt sich.