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Die harmonische Reihe

Die harmonische Reihe

\[ 1+{1\over 2}+{1\over 3}+{1\over 4}+{1\over 5}+{1\over 6}+{1\over 7}+\ldots \]

ist eine Reihe die sehr langsam divergiert.

Die Partialsummen dieser Reihe werden annähernd durch die Logarithmus Funktion approximiert.

\[ \sum_{k=1}^n {1\over k} \approx\log(k)+\gamma  \]

Wobei $\gamma$ die so genanne Euler-Mascherroni konstante ist.

\[ \gamma = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495\ldots \]

(siehe auch hier»).

Das folgende Applet vergleicht die Partialsummen der Reihe mit der Funktion $\log(k)+\gamma$. Es ist auffallen, dass diese Funktion mit sehr hoher Präzission durch die Ecken der "aufgestapelten" Summenrechtecke (rot) geht.

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An den weissen Punkten kann man die Skalengröße verändern. Durch Verschieben des roten Punktes kann man die Größen bestimmter Partialsummen abfragen.

-- RichterGebert - 04 Dec 2009