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Mathematische Visualisierung


Geometrie Visualisierung

Computergestütze Visualisierung ist in gewissem Sinne ein interdisziplinäres Forschungsgebiet, mit Komponenten aus Informatik, Mathematik, Wahrnehmingsphysiologie, und künstlerischen Aspekten.

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Im Gebiet der Geometrievisualisierung ergeben sich mehrere (gegenseitig widerstreitende) Optimierungsziele. Einerseits ist man daran interessiert ein möglichst reichhaltiges und facettenreiches Bild eines abstrakten Objektes zu generieren, andererseits steht man insbesondere im Kontext dynamischer Geomtrieprogramme, vor dem Problem, Bilder in extrem kurzer Zeit berechnen zu müssen. So stellt sich oftmals die Frage, wie man ein Objekt unter Ausnutzung der zur Verfügung stehenden Resourcen bestmöglich darstellt. Interessanterweise wirken oftmals unter grossem Aufwand dreidimensional gerenderte Bilder weniger prägnant als geschickt angelegt Strichzeichnungen (siehe z.B. die Graphik im Abschnitt über geometrische Komplexitätstheorie). Insbesondere in alten Geometriebüchern aus dem vorletzten Jahrhundert findet man oftmals erstaunlich Kupferstiche, bei denen z.B. die Schraffierung reichhaltige räumliche Information vermittelt. Insbesondere zur Erstellung von druckfähigen und einfach zu reproduzierbaren Vorlagen ist die Reduktion auf eine diagrammartige Darstellung ein wesentlicher Schritt.

Mathematische Probleme

Neben der Prägnanz eines Bildes ist natürlich zunächst dessen Korrektheit gefordert. Im Bereich der dynamischen Geometrie ergeben sich derartige Probleme bereits beim Pixel genauen darstellen von Geraden und Segmenten. Entsprechend schwieriger wird das Problem beim Zeichnen von Kegelschnitten (wie berechnet man möglichst schnell Stützpunkte aus denen sich der Kegelschnitt exakt durch Geradenstücke rekonstruieren lässt.)

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Beim Zeichnen algebraischer Kurven oder geometrischer Ortskurven, wie sie in dynamischen Geometriesystemen generiert werden, besteht zunächst allein das Problem darin sicherzustellen, dass alle Komponenten gezeichnet werden. Hierzu ist die im Abschnitt Dynamische Geometrie angedeutete Theorie zum erreichen kontinuierlicher Bewegung ein unerlässliches Hilfsmittel.

Information und Generizität

Eine Zeichnung oder Darstellung eines geometrischen Objektes sollte im allgemeinen zweierlei Anforderungen genügen. Erstens sollte sie geometrisch korrekt sein, andererseits, sollte sie nicht durch zu spezielle Wahl der Punktpositionen oder der Projektion zusammenhänge vermitteln, die nicht vorhanden oder nicht intendiert sind. An dieser Stelle leisten Systeme zur Dynamischen Geometrie einen wesentlichen Beitrag. Man hat die Möglichkeit eine Konstruktion zunächst in einer speziellen Lage korrekt anzufertigen, die für eine endgültige Publikation noch ungeeignet ist. In einem zweiten Schritt kann man dann die Position der Freien Elemente so variieren, das ein ansprechendes und prägnantes Bild entsteht. Auf diese Weise lassen sich oftmals sehr schnell Publikationsfähige Diagramme und Zeichnungen erstellen.

-- RichterGebert - 26 Apr 2007