BannerBannerBanner

Dynamische Geometrie


Das Ziel

Stellen Sie sich eine Seite aus einem Geometriekapitel eines Mathematikschulbuchs vor. In aller Regel enthält eine solche Seite Bilder, welche einen bestimmten geometrischen Sachverhalt visualisieren sollen.

Please enable Java for an interactive construction (with Cinderella).
Ziehen sie an den roten Punkten

Dabei kann es sich um einfache geometrische Lehrsätze, wie die Tatsache, dass sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, handeln. Während der geometrische Lehrsatz für beliebige Dreiecke gilt, gibt die Zeichnung nur ein einzelnes Beispiel wieder. Dynamische Geometrie ermöglicht es nun mit Computerunterstützung den geometrischen "Erfahrungshorizont" zu erweitern und durch das Bewegen einer Zeichnung Allgemeingültigkeiten zu erkennen - oder zu verwerfen. In dynamischer Geometrie existiert eine Zeichnung nicht nur als statisches Bild, sondern sie wird intern als Abfolge von Konstruktionsschritten beschrieben. Dadurch kann ein neues Bild aus den Koordinaten der Anfangspunkte berechnet werden. Dadurch kann man in einem Zugmodus die Anfangspunkte einer Konstruktion mit der Maus greifen und bewegen, wobei die gesamte Konstruktion sich konsistent mitbewegt. So kann man am obigen Bild leicht sehen, dass selbst wenn man die roten Punkte, die die Position des Kegelschnittes festlegen, beweget, die drei grünen Punkte immer noch auf einer Geraden liegen (das ist der Satz von Pascal).

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.
Ziehen sie an den gelben Punkten.

Die Probleme und Methoden

Im Gegensatz zu einem statischen Bild, muss der Computer bei einer dynamischen Zeichnung die Position der abhängigen Elemente vollständig selbst bestimmen.

Ziehen sie an den gelben Punkten. Dies ist dann einfach, wenn eine solche Position eindeutig bestimmt ist (wie z.B. beim Schnitt zweier Geraden). Schneided man jedoch zwei Kreise (oder einen Kreis mit einem Kegelschnitt), so ergeben sich mehrere Schnittpunkte, die algebraisch nicht auseinanderzuhalten sind. Um solche Mehrdeutigkeiten korrekt aufzulösen, muss der Weg, der freien Elemente mit berücksichtigt werden. Rieman'sche Flächen und Komplexe Funktionentheorie werden zum unerlässlichen Hilfsmittel bei der Implementierung. So muss beispielsweise beim nebenstehenden Bild der Computer selbstständig eine konsistente Zuordnung der vier Schnittpunkte vornehmen. Fragen nach der kontinuierlichen Fortsetzbarkeit einer Konstruktion sind fundamental für die Definition des Theorembegriffs in dynamischen Szenarien. Weiterhin ist es wichtig, die Situation in die so genannte projektive Ebene einzubetten um den korrekten Umgang mit unendlich fernen Elementen zu gewährleisten.

Cinderella

Die in meiner Arbeitsgruppe gewonnenen Erkenntnisse fliessen unter anderem in das Software Projekt Cinderella» ein, welches von mir und Ulrich Kortenkamp entwickelt wird.

PythOvl2.gif
Screenshot von Cinderella

Cinderella ist ein vollständiges Programmpaket zur interaktiven Geometrie. Durch die konsequente Ausnutzung der oben beschriebenen mathematischen Prinzipien gelang es hiermit erstmalig, ein mathematisch konsistentes System zur dynamischen Geometrie zu schaffen. Weiterhin wird in Cinderella ein randomisierter Beweiser benutzt, der es gestattet selbstkontrollierende tutorielle Schülerübungen auf dem Internet zu veröffentlichen. Der Einsatz von Cayley-Klein Geometrien ermöglicht ferner den direkten explorativen Umgang mit elliptischer und hyperbolischer Geometrie. Die erste Version des Programmes wurde vom Springer Verlag Heidelberg und vom Klett Verlag veröffentlicht. Derzeit arbeiten Ulrich Kortenkamp, Dirk Materlik und ich an einer neuen Release Cinderella 2.0, die weit über die alte Funktionalität hinaus geht. Die erweiterte Funktionalität von Cinderella 2.0 umfasst unter anderem die folgenden Themengebiete: Transformationen, Fraktale, Transformationsgruppen, Physiksimulation, Hardwaresimulation, stiftgetriebene Eingabemedien, PDA unterstützung, erweiterte graphische Möglichkeiten, anbindung an Computeralgebra Systeme. Eine kleine Galerie die die Möglichkeiten von Cinderella 2.0 demonstrier findet man hier».