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Komposition dreier Achsenspiegelungen

Gegeben: Drei Achsenspiegelungen $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_c$, deren Achsen ein Dreieck bilden.
Gesucht: Komposition $\kappa=\sigma_a \circ \sigma_b \circ \sigma_c$.

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Dreieck_Gleitspiegelung.cdy Schiebe den Punkt L nach rechts.

Im Fall, dass genau zwei Geraden zueinander parallel liegen, kommt man durch analoge Überlegungen zum entsprechenden Ergebnis.
Im Fall, dass alle drei Geraden zueinander parallel liegen, ist die Koposition eine Achsenspiegelung an einer Garaden parallel zu den Geraden.
Es gilt also der Satz:

Die Komposition dreier Achsenspiegelungen ist eine Gleitspiegelung, d.h. eine Spiegelung an einer Geraden g und Translation mit Schubvektor s $||$ g. Umgekehrt lässt sich jede Bewegung der Ebene, d.h. orthogonale Transformation plus Translation, durch maximal drei Achsenspiegelungen erzeugen.

wie folgendes Applet zeigt:
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Dreispiegelungssatz.cdy Klicke das Fragezeichen an.

Beachte: Die vorgegebenen kongruenten Dreiecke haben gegensinnigen Umlaufsinn. Damit erhalten wir stets Gleitspiegelungen, im Spezialfall Achsenspiegelungen.
Bei gleichsinnig kongruenten Dreiecken genügen bereits maximal zwei Achsenspiegelungen. Damit erhalten wir folgende Übersicht:

Bewegungen der Ebene , d.h. orthogonale Transformationen plus Translation, sind:

1) die Identität (jeder Punkt ist Fixpunkt, jede Gerade ist Fixgerade),
2) die Drehungen $\delta_{Z,\varphi}$ mit Zentrum $Z_{ }$ und Winkel $\varphi$ (genau ein Fixpunkt Z, keine Fixgeraden für $\varphi \neq \pi$),
speziell die Punktspiegelungen $\delta_{Z.\pi}$ mit Zentrum Z (genau ein Fixpunkt, nur die Geraden durch Z sind Fixgeraden),
3) die Translationen $\tau_t$ mit orientierter Schiebstrecke $t_{ }\neq 0$ (keine Fixpunkte, nur die Geraden parallel zu $t_{ }$ sind Fixgeraden),
4) die Achsenspiegelungen $\sigma_g$ mit Achse $g_{ }$ ($g_{ }$ bleibt punktweise fix, alle Geraden senkrecht zu $g_{ }$ sind Fixgeraden),
5) die Gleitspiegelungen $\gamma_{g,s}$ mit Achse $g_{ }$ und Schubvektor $0 \neq s||g$ (keine Fixpunkte, nur $g_{}$ ist eine Fixgerade).

Bemerkung: Die Achsenspiegelungen erzeugen die Gruppe der Bewegungen und bilden mit den Gleitspiegelungen die uneigentlichen Bewegungen, die den Umlaufsinn eines Dreiecks ändern. Die zugehörige orthogonale Transformation x->Ax (ohne Translationsanteil) liegt in der O(3) mit det(A)=-1.
Die Identität, die Drehungen und Translationen lassen sich als Komposition zweier Achsenspiegelungen auffassen. Diese Abbildungen erhalten den Umlaufsinn eines Dreiecks und werden auch als die eigentlichen Bewegungen bezeichnet. Die zugehörige orthogonale Transformation x->Ax (ohne Translationsanteil) liegt in der SO(3) mit det(A)=+1.

-- HermannVogel - 04 Jun 2008