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Bekannte Schnittpunkte im Sphärischen Dreieck

Sphäre

E_Sphaere.cdy

Schaltet man im Programm CINDERELLA auf Elliptische Geometrie um und wählt die sphärische Zeichenoberfläche , so erhält man das sphärische Modell der elliptischen Ebene, bei dem antipodale Punkte identifiziert werden. Schränkt man die Geometrie auf der Sphäre auf eine Halbkugel ein, so stimmt die sphärische Geometrie mit der elliptischen überein, so dass man unter dieser Einschränkung mit Hilfe von CINDERELLA Fragen der sphärischen Geometrie klären kann.

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In der sphärischen Geometrie betrachtet man den Großkreis der Sphäre durch zwei Punkte A und B der Sphäre als Verbindungsgerade von A und B, die Länge des kleineren Bogens auf diesem Großkreis als sphärischen Abstand der Punkte A und B und den Winkel der Ebenen zweier Großkreise als den Winkel zwischen den sphärischen Geraden. Insofern kann man die Begriffe Mittellot, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe aus der euklidischen Geometrie in die sphärische Geometrie übertragen und zeigen, dass jeweils die drei Mittellote, die drei Seitenhalbierenden, die drei Winkelhalbierenden und die drei Höhen eines sphärischen Dreiecks einander in einem Punkt schneiden.

Im Programm CINDERELLA lässt sich die Sphäre um deren Mittelpunkt drehen. Dies ist aber leider im Applet nicht möglich.
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Mittellote

E_Mittellote.cdy

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Die Mittellote des sphärischen Dreiecks schneiden einander im Mittelpunkt des sphärischen Umkreises des Dreiecks.

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Winkelhalbierende

E_Winkelhalbierende.cdy

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Die Winkelhalbierenden des sphärischen Dreiecks schneiden einander im Mittelpunkt des sphärischen Inkreises des Dreiecks.
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Seitenhalbierende

E_Seitenhalbierende.cdy

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Die Seitenhalbierenden des sphärischen Dreiecks schneiden einander i.a. nicht im Flächenschwerpunkt des Dreiecks.
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Höhen

E_Hoehen.cdy

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Achtung: Die Höhe von C auf AB ist nicht eindeutig, wenn C einer der beiden Pole zum Großkreis durch A und B ist.
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Euler-Gerade USH ?

E_USH.cdy

In der euklidischen Ebene liegt der Schwerpunkt auf der Verbindungsgerade des Höhenschnittpunkts und des Umkreismittelpunkts und teilt UH im Verhältnis 1:2. (Begründung mittels Ähnlichkeit des Dreiecks ABC zum Mittendreieck mit S als Zentrum)

Dies gilt offenbar bei sphärischen Dreiecken i.a. nicht mehr.

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-- HermannVogel - 02 May 2008