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Zu P102: Subdivision-Curves

Bei einer Subdivison-Curve geht man von einem Kontrollpolynom $A_1 A_2 \ldots A_n$ und ersetzt die $n$ Eckpunkte sukzessive durch folgende $2n$ Punkte

$A'_{2i-1}= \frac{1}{2} \cdot A_i+\frac{1}{2} \cdot A_{i+1}$ und $A_{2i} = \frac{1}{8} \cdot A_i+\frac{3}{4} \cdot A_{i+1}+\frac{1}{8} \cdot A_{i+2}$, mit $1 \leq i \leq n$.

Dabei setzt man $A_{n+1} = A_1$ und $A_{n+2} = A_2$, um geschlossene Kurven zu erhalten.
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Subdivision.cdy

Das obige Applet zeigt, dass das Polygon für $k = 4$ mit $16 \cdot n$ Eckpunkten bereits hinreichend "glatt" erscheint.

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Subdivision2.cdy

Dem Applet entnimmt man, dass offenbar die Punkte $A^{(k)}_1, A^{(k)}_2, A^{(k)}_3$ für große $k$ gegen einen gemeinsamen Punkt $P$ laufen. Um dies nachzuweisen und $P$ zu bestimmen sind Mittel der Eigenwert-Theorie hilfreich.

-- HermannVogel - 04 Feb 2008