BannerBannerBanner

H 50. Dreiecksgitter

Das folgende Applet zeigt in der Gaußschen Zahlenebene das Punktegitter von $\Z[p]$ zur $n$-ten Einheitswurzel $p=e^{2\pi i/n}$ für $n=3,4,6$, siehe rote Punkte, sowie die Punkte von $x\Z[p]$ für $x \in \Z[p]$, die auf Punkte des Gitters $\Z[p]$ fallen, siehe grüne Punkte.
Durch Anklicken und Verschieben kann man den blauen Punkt $n$ zwischen $3$ und $6$ sowie den grünen Punkt $x \in \Z[p]$ wählen.

Zeigen Sie, dass für $n = 3, 4$ oder $6$ die Menge $x\Z[p]$ stets ein Untergitter von $\Z[p]$ ist. Was gilt für $n= 5$?

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.
Gitter_n.cdy

Für $x=u+v \cdot p \in \Z[p]= \{ a+b\cdot p \,|\, a,b \in \Z \}$ ist $x\Z[p]=\{ x\cdot (a+b\cdot p)\,|\, a,b \in \Z \}=\{a\cdot x + b\cdot (xp)\,|\, a,b \in \Z \}$ für $n \in \{3,4,6\}$ wegen $p^2 \in \Z[p]$ ein Untergitter von $\Z[p]$. Mit der Addition der komplexen Zahlen ist $(x\Z[p],+)$ eine Untergruppe des kommutativen Rings $(\Z[p],+,\cdot )$.
Frage: Warum stimmen die Gitter für $n=3$ bzw. für $n=6$ überein ?
Bemerkung: Für $n=5$ liegt $p^2$ offenbar nicht in der Menge $\{a+b\cdot p \,|\, a,b \in \Z \}$. In diesem Fall betrachtet man $\Z[p]=\{a+b\cdot p +c\cdot p^2 + d \cdot p^3 + e\cdot p^4\,|\, a,b,c,d,e \in \Z\}$, wobei das Gitter dann dicht liegt.

Wieviele Nebenklassen besitzt die Quotientengruppe $(\Z[p] / x\Z[p], +)$, im Fall $n \in \{3,4,6 \}$ ?
Im folgenden Applet ist die Nebenklassse $y+x\Z[p]$ mit $y \in \Z[p]$ eingetragen, siehe lila Punkte.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.
Gitter_Neben_n.cdy

Für $n \in \{3,4,6 \}$ erhält man mit $x=2:\quad  \quad \Z[p] / 2\Z[p]=\{ [0]_{2\Z[p]}, [1]_{2\Z[p]}, [p]_{2\Z[p]}, [1+p]_{2\Z[p]}\}$, also 4 Nebenklassen.
Im Fall $n=6$ erhält man mit $x=1+p:\quad  \quad \Z[p] / x\Z[p]=\{ [0]_{x\Z[p]}, [1]_{x\Z[p]}, [p]_{x\Z[p]}\}$, also 3 Nebenklassen,
im Fall $n=4$ mit $x=1+p:\quad  \quad \Z[p] / x\Z[p]=\{ [0]_{x\Z[p]}, [1]_{x\Z[p]}\}$, also nur 2 Nebenklassen (warum gilt hier $[1]_{x\Z[p]}=[p]_{x\Z[p]}$ ?), und
im Fall $n=3$ mit $x=2+p:\quad \quad \Z[p] / x\Z[p]=\{ [0]_{x\Z[p]}, [1]_{x\Z[p]}, [p]_{x\Z[p]}\}$, also 3 Nebenklassen.

-- HermannVogel - 17 Dec 2007