BannerBannerBanner

P 47. Radikale

Gegeben sei das Polynom $p \in \C[X]$ mit $p(X) = X^4 + 7 + 24i$. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen von $p$.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.
P047.cdy

In der Musterlösung und im Applet werden die Lösungen numerisch bestimmt.
Um exakte Lösungen in der Form $a = a_1 + i a_2$ zu bekommen, suchen wir zu $b = -7 - 24 i = 25 \cdot [\cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi)] = 25 \cdot e^{\varphi \cdot i}$ mit $\cos(\varphi) = -7/25$ und $\sin(\varphi) = -24/25$ alle $a = a_1 + i a_2 = r_a \cdot [\cos(\alpha) +i \cdot \sin(\alpha)] = r_a \cdot e^{\alpha \cdot i}$ so, dass $a^4 = (r_a)^4 \cdot e^{4 \alpha \cdot i} = b = 25 \cdot e^{\varphi \cdot i}$ ist, also $r_a = \sqrt{5}$ und $4 \alpha = \varphi + 2 k \pi, k \in \Z$.

Wie finden wir nun die Werte von $\cos(\alpha)$ und $\sin(\alpha)$ aus den bekannten Werten für $\cos(4 \alpha) = \cos(\varphi) = -7/25$ und $\sin(4 \alpha) = \sin(\varphi) = -24/25$?

Dazu betrachten wir: $\cos(4 \alpha) + i \cdot \sin(4 \alpha) = e^{4 \alpha \cdot i} = (e^{\alpha \cdot i})^4 = [\cos(\alpha) + i \cdot \sin(\alpha)]^4$. Mit der Binomischen Formel erhalten wir:

\[\cos(4 \alpha) + i \sin(4 \alpha) = \cos^4(\alpha) + 4 i \cos^3(\alpha) \sin(\alpha) - 6 \cos^2(\alpha) \sin^2(\alpha) - 4i \cos(\alpha) \sin^3(\alpha) + \sin^4(\alpha)\]

Der Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert somit:

  \begin{displaymath} \cos(4\alpha) = \cos^4(\alpha) - 6 \cdot \cos^2(\alpha) \sin^2(\alpha) + \sin^4(\alpha) = \cos^4(\alpha) - 6 \cdot \cos^2(\alpha) \cdot [1 - \cos^2(\alpha)] + [1 - \cos^2(\alpha)]^2 = 8 \cdot \cos^4(\alpha) - 8 \cdot \cos^2(\alpha) + 1 \end{displaymath} (1)

  \begin{displaymath} \sin(4 \alpha) = 4 \cdot \cos^3(\alpha) \sin(\alpha) - 4 \cdot \cos(\alpha) \sin^3(\alpha) = 4 \cdot \cos^3(\alpha) \sin(\alpha) - 4 \cdot \cos(\alpha) \cdot [1 - \cos^2(\alpha)] \cdot \sin(\alpha) = [8 \cdot \cos^3(\alpha) - 4 \cdot \cos(\alpha)] \cdot \sin(\alpha) \end{displaymath} (2)

Bemerkung: Analog erhält man auch Beziehungen von $\cos(k \cdot \alpha)$ bzw. $\sin(k \cdot \alpha)$ für $k \in \N$ mit $\cos(\alpha),\ \sin(\alpha)$

Wir erhalten also $\cos(\alpha)$ nach (1) als Lösung der biquadratischen Gleichung:
\[-7/25 = \cos(4\alpha) = 8 \cdot \cos^4(\alpha) - 8 \cdot \cos^2(\alpha) + 1 \; \Leftrightarrow \; \cos^4(\alpha) - \cos^2(\alpha) + 4/25 = 0 \; \Leftrightarrow \; \cos(\alpha) \in \{\pm 1/\sqrt{5}, \pm 2/\sqrt{5}\}\]

Mit (2) erhält man zu $\cos(\alpha) = \pm 1/\sqrt{5}$ schließlich $\sin(\alpha) = \pm 2/\sqrt{5}, \quad$ also $a = \pm (1 - 2i)$
und zu $\cos(\alpha) = \pm 2/\sqrt{5}$ schließlich $\sin(\alpha) = \pm 2/\sqrt{5}, \quad$ also $a = \pm (2 - i)$ und damit alle Lösungen von $a^4 = b$.

Bemerkung: Zur Lösung der Gleichung $X^n = b,\ b \in \C$ erhält man für $\cos(\alpha)$:
Ist $\cos(\alpha)$ bekannt, so erhält man $\sin(\alpha)$ stets aus einer linearen Gleichung.

-- HermannVogel - 01 Dec 2007