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P 40. Darstellungsformen komplexer Zahlen

Eine komplexe Zahl $z\in\C$ lässt sich darstellen
$\bullet$ in Normalform oder kartesischer Form: $z = a+ib$ mit $a,b\in\R$
$\bullet$ in trigonometrischer Form: $z=r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ mit $r, \varphi \in\R$
$\bullet$ in Exponentialform: $z=r e^{i\varphi}$ mit $r, \varphi \in\R$
Das Tupel $(a,b)$ beschreibt die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl $z$ in der Gaußschen Zahlenebene $\R \times i \R$. Das Tupel $(r,\varphi)$ gibt die komplexe Zahl $z$ in Polarform an, wobei $r \in \R^+ $ und $\varphi$ aus einem Intervall der Länge $2 \pi$ gewählt werden können.

1. Wie lassen sich kartesische Form und Polarform einer komplexen Zahl ineinander umrechnen ?
2. Geben Sie folgende komplexe Zahlen in allen drei möglichen Darstellungsformen an:
$\quad 2 e^{i \frac{2}{3}\pi}, \quad 3+4i, \quad -(\sqrt{5}+1)-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}$
3. Welche Vorteile haben die verschiedenen Darstellungen beim Rechnen mit komplexen Zahlen ?

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P040.cdy Sie können den blauen Punkt und die grünen Punkte anklicken und verschieben!

Lösung: Der Figur entnimmt man mit Hilfe der Euler-Formel $e^{i\cdot \phi}=cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)$:
$\bullet$ Polarform $(r,\varphi)\; \rightarrow $ Kartesische Form $(a,b)$:
$z=r\cdot e^{i\cdot \varphi}=r\cdot[cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)]=[r\cdot cos(\varphi)]+i\cdot [r \cdot sin(\varphi)] =a+ib$ mit den Transformationsgleichungen
$a=r\cdot cos(\varphi), \;\;b= r \cdot sin(\varphi)$
$\bullet$ Kartesische Form $(a,b)\; \rightarrow $ Polarform $(r,\varphi)$:
$z=a+ib \Rightarrow r= |z| =\sqrt{a^2+b^2},\;\; cos(\varphi)=a/r$ für $r \neq 0 \quad \Leftrightarrow$
$\varphi=v(b)\cdot arccos(a/r) + 2k\pi,\;\; k\in \Z$ für $r \neq 0$ mit $v(b)=+1$ für $b\geq 0$ und $v(b)=-1$ für $b < 0$.
Beachte: $\varphi$ ist nur bis auf ein Vielfaches von $2\pi$ bestimmt und für $r=0$ unbestimmt.

$z=-(\sqrt{5}+1)-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ ist so gewählt, dass $z$ in der Gaußschen Zahlenebene eine Ecke eines regelmäßigen Fünfecks bildet. Klicken Sie den Button "5-Eck" an und überlegen Sie, welche komplexen Zahlen zu den anderen Ecken gehören und wie sie aus $z$ zu erhalten sind.

Die folgenden beiden Applets zeigen, dass für die Addition von komplexen Zahlen die kartesische Form vorteihaft ist, jedoch für Produkte (insbesondere Potenzen) von komplexen Zahlen die Polarform günstiger ist.

Für die Addition:

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P040a.cdy:

Bemerkung: Die Addition lässt sich als Translation deuten.

Für die Multiplikation:

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P040m.cdy

Bemerkung: Die Multiplikation lässt sich als Drehstreckung deuten.

Beachte: Wegen der Euler-Formel gilt:
$cos(\alpha+\beta)+i \cdot sin(\alpha+\beta)=e^{i\cdot(\alpha+\beta)}=e^{i \cdot \alpha}\cdot e^{i \cdot \beta} $
$=[cos(\alpha)+i \cdot sin(\alpha)] \cdot [cos(\beta)+i \cdot sin(\beta)]$
$=[cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)]+i \cdot [cos(\alpha)sin(\beta)+sin(\alpha)cos(\beta)]$
Der Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert somit die bekannten Additionstheoreme der Winkelfunktionen.

-- HermannVogel - 01 Dec 2007