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P 22. Untergruppe - Nebenklasse

In der Gruppe $\R^2=\R \times \R$ mit der Addition $(v_1,v_2)+(w_1,w_2):=(v_1+w_1,v_2+w_2) $ ist die skalare Multiplikation definiert durch $\lambda \cdot (v_1,v_2)= (\lambda \cdot v_1,\lambda \cdot v_2)$ und $ \lambda \in \R $.
Skizzieren Sie für ein $v \in \R^2 \backslash \{(0,0)\}$ die Untergruppe $U_v=\{\lambda \cdot v | \lambda \in \R\}$, die Nebenklassen $[x]_{U_v}$ und $[y]_{U_v}$ sowie deren Summe $[x]_{U_v}+[y]_{U_v}$.
Verschiebt man im Apllet $\lambda$, so durchläuft $u=\lambda \cdot v$ die Untergruppe $U_v$, vgl. die rote Gerade.
Durch Anklicken des Fragezeichens erhält man nacheinander:
die Nebenklassen $[x]_{U_v}$ und $[y]_{U_v}$, vgl. die lila Geraden parallel zu $U_v$, eine Bedingung für die Gleichheit von Nebenklassen $[x]_{U_v}=[a]_{U_v}$, die Summe $[x]_{U_v}+[y]_{U_v}$ sowie die Unabhängigkeit der Summe von der Wahl der Repräsentanten.

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P022_A.cdy

-- HermannVogel - 19 Nov 2007