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H 30. Punkteraster

$\Z^2$ ist bezüglich komponentenweiser Addition eine Untergruppe von $\R^2$.
1. Skizzieren Sie einige Nebenklassen von $\R^2/\Z^2$.
2. Geben Sie eine möglichst kleine Teilmenge $S$ des Einheitsquadrats $[0 , 1] \times [0 , 1]$ an, so dass $\R^2 = S + \Z^2$ ist.

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H030n.cdy

Betrachte zunächst die Nebenklasse $[u]_{\Z^2}$ mit $u\in \Z^2$ (Menge der blauen Punkte). Für welche $u$ gilt $[u]_{\Z^2}=[0]_{\Z^2}=\Z^2$?
Durch Anklicken von $u$ kann man $u$ in der Ebene $\R^2$ verschieben.
Betrachte dann zusätzlich die Nebenklasse $[v]_{\Z^2}$ mit $v\in \Z^2$ (Menge der grünen Punkte). Für welche $v$ gilt $[u]_{\Z^2}=[v]_{\Z^2}$?
Betrachte dann die Addition $[w]_{\Z^2}=[u]_{\Z^2}+[v]_{\Z^2}$ in der Quotientengruppe $\R^2/\Z^2$ (Menge der roten Punkte) und suche $v$ so, dass $[v]_{\Z^2}$ das neutrale Element bzw. das inverse Element zu $[u]_{\Z^2}$ ist.
Dass die Addition in $\R^2/\Z^2$ wohldefiniert ist, zeigt das Anklicken des Buttons "Repräsentanten" und Verschieben von $u_1$ und $v_1$.
Beachte, dass in der Restriktion auf $S=\{(x,y)|\;0\leq x < 1\;,\;0\leq y < 1 \}$ nicht notwendig für die Summe $[w_S]_{\Z^2}=[u_S]_{\Z^2}+[v_S]_{\Z^2}$ mit $u_S \in S, v_S \in S$ folgt $w_S=u_S+v_S \in S$ !

-- HermannVogel - 04 Dec 2007