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H 13 KLEINsche Vierergruppe

Gegeben sind zwei Punkte $A\not= B$ der euklidischen Ebene.
a) Geben Sie die vier abstandserhaltenden Abbildungen der euklidischen Ebene an, welche das Punktepaar $(A,B)$ invariant lässt (d.h. $f (\{A,B\}) = \{A,B\}$).
b) Zeigen Sie, dass die Menge $S$ dieser Abbildungen bzgl. der Hintereinanderausführung $\circ$ abgeschlossen ist.
c) Überprüfen Sie, ob $(S, \circ)$ eine Gruppe ist, und stellen Sie gegebenenfalls die Gruppentafel auf.

Lösung: Sei $ f $ eine abstandserhaltenden Abbildung mit $f(\{A,B\})= \{A,B\}$.
Dann ist der Mittelpunkt $ M $ von $ {A} $ und $ B $ ein Fixpunkt, womit $ f $ entweder eine Drehung $ \delta_{M,\phi} $ um $ M $ mit Winkel $ \phi $ oder eine Achsenspiegelung $ \sigma_a $ an einer Achse $ a $ durch $ M $ ist.
Im Fall $f(A)=A \wedge f(B)=B$ gilt: $f=\delta_{M,0}=id $ (Identität) oder $f=\sigma_g$ (Achsenspiegelung an $ g=AB $).
Im Fall $f(A)=B \wedge f(B)=A$ gilt: $f=\delta_{M,\pi}=\sigma_M $ (Punktspiegelung an $M$) oder $f=\sigma_l$ (Achsenspiegelung am Mittellot $ l $ von $ A $ und $ B $).
Dass diese vier Abbildungen $ S=\{id,\sigma_g,\sigma_l,\sigma_M\}$ bezüglich der Hintereinanderausführung $\circ$ eine Gruppe bilden, zeigt folgende interaktive Figur:

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.
H013n.cdy: H013n.cdy

Sie können in der Gruppentafel jede Komposition von Abbildungen wählen und ausführen lassen.

Bemerkung: Die Abbildungen $U=\{id, \sigma_g\}$ bilden eine Untergruppe von $(S,\circ)$ und liefern die beiden Nebenklassen $[id]_U=\{id, \sigma_g\}$ und $[\sigma_l]_U=\{\sigma_l, \sigma_M\}$ von $S/U$, deren Verknüpfung $\circ$ in obiger Gruppentafel ersichtlich ist, beachte die dunkelgrauen Linien.
Wie unterscheiden sich die beiden Nebenklassen ?

-- HermannVogel - 21 Nov 2007