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Kettenbruchberechnung

Das Verfahren des "Abspaltens von Quadraten" kann man auch durchführen, wenn die beiden Strecken $a$ und $b$ beliebige reelle Zahlen sind (also nicht notwendig kommensurabel). Es kann dann nur passieren, dass der Prozess niemals zu einem Ende kommt und man immer weitere neue Rechtecke betrachten muss. Das folgende Applet ermöglicht es, diesen Prozess für beliebige Zahlen zu untersuchen. (Leider werden die Quadrate recht schnell so klein, dass man nichts mehr erkennen kann.)

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Das Verfahren ist auch sehr eng verwandt mit der Berechnung eines so genannten Kettenbruchs. Dieser wird auf der rechten Seite des Applets gleich mit angezeigt. Kettenbrüche sind dazu geeignet, sehr genaue rationale Approximationen zu reellen Zahlen zu bestimmen. Das Verfahren zu einer Kettenbruch-Berechnung ist dem Euklidischen Algorithmus sehr verwandt.

Angenommen man hat eine reelle positive Zahl $x=x_0$ (, die man approximieren möchte). $x_0$ zerfällt in einen natürlichzahligen Teil vor dem Komma $a_0$ und in einen Rest $r_0$, der kleiner als $1$ ist, nach dem Komma. Es gilt also

\[ x_0=a_0+r_0\quad\mbox{ mit }\quad a_0\in\N \mbox{ und } 0\leq r_0 < 1. \]

Gilt $r_0=0$ stoppt man. Andernfalls berechnet man $x_1=1/r_0$. Diese Zahl $x_1$ ist größer als $1$ und zerfällt wieder in
\[ x_1=a_1+r_1\quad\mbox{ mit }\quad a_1\in\N \mbox{ und } 0\leq r_1 < 1. \]

Fährt man iterativ fort, so erzeugt man eine Zahlenfolge $a_0,a_1,a_2,\ldots$ Man nennt diese Zahlen die Kettenbruchkoeffizienten. Es gilt:

\[ x={a_0+{1\over {a_1+{1\over {a_2+{1\over {a_3+{1\over {a_4+\cdots}}}}}}}}}, \]

wobei dieser Grenzwert natürlich sauber definiert werden muss. Ist die Zahl $x$ rational, so bricht das Verfahren irgendwann ab (zumindest, sofern man Rundungsfehler nicht mit in Betracht zieht).

-- RichterGebert - 29 Oct 2007