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Verknüpfungstabellen zu Addition und Multiplikation modulo p

Neben den bekannten unendlichen Gruppen wie $(\Z,+)$, $(\Q,+)$, $(\R,+)$, $(\C,+)$, bzw. $(\Q-\{0\},\cdot)$, $(\R-\{0\},\cdot)$, $(\C-\{0\},\cdot)$, gibt es auch Gruppen, die nur endlich viele Elemente enthalten. Eine interessante Beispielklasse dieser Art entsteht, wenn man alle Rechnungen über $\Z$ modulo einer gewissen Zahl $p$ durchführt, was bedeutet, dass man lediglich die Reste beim Teilen durch $p$ betrachtet.

Hierzu betrachten wir die Menge

\[ \Z_p:=\{0,1,\ldots (p-1)\} \]

und die beiden zweistelligen Operationen $\oplus_p$ und $\odot_p$ auf dieser Menge definiert durch

\[ a\oplus_p b:=(a+b) \mbox{ mod } p;\qquad \qquad a\odot_p b:=(a\cdot b) \mbox{ mod } p. \]

Das unten stehende Applet zeigt die Verknüpfungstafeln (p kann am Schieberegler verändert werden):

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Es stellt sich heraus, dass für beliebige $p\in \N-\{0\}$ das Paar $(\Z_p,\oplus_p)$ eine Gruppe ist.

Das Paar $(\Z_p,\odot_p)$ ist hingegen nicht immer eine Gruppe. Dies ist nur dann der Fall, wenn $p$ eine Primzahl ist. Man erkennt dies allein daran, dass - wenn $p$ keine Primzahl ist - in der Verknüpfungstafel zu viele Nullen auftreten.

An den Verknüpfungstafeln kann man auch beobachten, dass - wenn eine Gruppe vorliegt - in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.


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