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Beispiel einer Gruppe mit komponentenweiser Verknüpfung

Aus der Vorlesung wissen wir, dass $(\R,+)$ ein Gruppe bildet. Ebenso wurde erklärt, dass für beliebige Gruppen $(G_1,\circ_1),\ldots,(G_n,\circ_n)$ die Menge

\[(G_1\times G_2\times\cdots\times G_n,\circ)\]

mit der Verknüpfung

\[(a_1,\ldots,a_n)\circ (b_1,\ldots,b_n)=(a_1\circ_1 b_1,\ldots,a_n\circ_n b_n)\]

eine Gruppe bildet, die Produktgruppe.

Demgemäß ist $(\R^2,+)$ mit komponentenweiser Addition $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$ eine Gruppe.

Das folgende Applet illustriert die Gruppenaddition, indem Elemente aus $\R^2$ mit den Punkten der euklidischen Ebene identifiziert werden.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Im Applet können die Punkte $a$ und $b$ bewegt werden. Man sieht leicht, dass die Addition in dieser Gruppe geometrisch in diesem Fall einer Parallelogrammkonstruktion entspricht.

Durch Drücken der folgenden Knöpfe wird veranschaulicht, welche Situation vorliegt, wenn der Punkt $b$ das der Gruppe ist (dann ist $a+b=a$), bzw. wenn $b$ das zu $a$ ist (dann ist $a+b=(0,0)$.

Man beachte, dass das neutrale Element $(0,0)$ ist. Das Inverse zu $(a_1,a_2)$ ist $(-a_1,-a_2)$.


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