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Verschiedene Normen

Eine Norm des Vektoraums $\R^n $ ist eine Abbidung $\Vert\ldots\Vert\colon\R^n \to \R$ die die folgenden drei Bedingungn erfüllt:

Sehr bekannt ist die Norm

\[ \Vert v\Vert_2:=\sqrt{\langle v,v \rangle} = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots + v_n^2}, \]

die man unter anderem under dem Namen Euklidische Norm oder 2-Norm kennt. Die beiden Namen deuten auf zwei verschiedene Verallgemeinerungen dieser speziennen Norm hin.

Der Name Euklidische Norm rührt daher, dass man diese Norm, wie oben gezeigt, aus dem kanonischen Skalarprodukt ableiten kann. Jedes andere Skalarprodukt $s(v,w)$ kann ebenso als Grundlage einer Norm

\[ \Vert v\Vert_s:=\sqrt{s(v,v)} \]

dienen. Der Einheitskreis zu dieser Norm ist dann die Ellipse $s(v,v)=1$.

Der Name 2-Norm kommt daher, dass man anstatt zu quadrieren und Quadratwurzeln zu ziehen dies auch mit jedern anderen Zahl $p\geq 0$ machen kann. Man erhält die so genennte p-Norm definiert durch

\[\Vert v\Vert_p:=(|v_1|^p+|v_2|^p+\cdots +|v_n|^p)^{1/p}.\]

Im Grenzfall kann man sogar den Wert $p$ gegen unendlich gehen lassen und erhält:

\[\Vert v\Vert_\infty:=\lim_{p\to \infty}(|v_1|^p+|v_2|^p+\cdots +|v_n|^p)^{1/p}= \max(|v_1|,\ldots,|v_n|)\]

In den folgenden Applets werden einige Normen zusammen mit "Linien gleichen Abstands" von zwei Punkten gezeigt. Nur im Falle von Normen die von Skalarprodukten herrühren werden diese Linien zu Geraden. Der Abstand zweier Punkte in einer Norm ergibt sich gemäß $d(v,w)=\Vert v-w \Vert$.


Die 1-Norm

Die 1-Norm ergibt sich gemäß der Definition

\[\Vert v\Vert_1:=(|v_1^1|+|v_2^1|+\cdots +|v_n^1|)^{1}=|v_1^1|+|v_2^1|+\cdots +|v_n^1|.\]

und wird daher auch als Betragssummennorm bezeichnet. Geometrisch ergibt sich der Einheitskreis zu dieser Norm als ein Polytop dessen Spitzen auf den dem Vektoren $\pm e_i$ liegen, wobei $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor ist. Im $R^2$ ergibt sich ein auf die Spitze gestelltes Quadrat als Einheitskreis. In aller Regel ist das Gebiet gleichen Abstands zwischen zwei Punkten ein Streckenzug der sich aus drei Geradensegmenten zusammensetzt. Es gibt aber auch Situationen wo das Gebiet gleichen Abstands zweier Punkte Flächenstücke enthält. (Aufgabe: für welche Punktlagen tritt dieser Fall auf?)

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Die 2-Norm

Die 2-Norm ergibt unsere normale Abstandsbestimmung in der Euklidischen Ebene und wird desshalb auch oft als Euklidische Norm bezeichnet. Im Prinzip benutzt sie eine hochdimensionale Version des Satzes von Pythagoras um die Länge eines Vektors zu betsimmen:

\[ \Vert v\Vert_2:=\sqrt{\langle v,v \rangle} = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}, \]

Die Enheitskreise sind ganz gewöhnliche Kreise und das Gebiet gleichen Abstands zweier Punkte ergibt sich in diesem Fall als eine Gerade. Dies ist genau die geometrische Mittelsenkrechte der beiden Punkte.

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Die 4-Norm

Die 4-Norm ist ein Spezialfall einer p-Norm mit $p=4$. Per Definition ergibt sich diese zu

\[\Vert v\Vert_4:=(|v_1|^4+|v_2|^4+\cdots +|v_n|^4)^{1/4}.\]

Geometrisch entspricht ein Einheitskreis in der 4-Norm einer Art Quadrat, das kontinuierlich leicht abgerundet wurde. Die Linie gleichen Abstands ergibt sich in diesem Fall als geschwungene Kurve. Nur für spezielle Lage der Punkte (für welche?) ist diese Linie eine normale Gerade.

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Die Maximums-Norm

Die Maximums-Norm oder auch Unendlichnorm ergibt sich wenn im Grenzfall einer p-Norm der Wert von $p$ gegen unendlich geht. Die Norm entspricht genau dem Betrag des betragsgrößten Koorinateneintrag des Vektors.

\[\Vert v\Vert_\infty:= \max(|v_1|,\ldots,|v_n|)\]

Als Einheitskreis ergibt sich in diesem Fall ein Würfel um den Nullpunkt. In dem Sinn ist die Maximums-Norm dual zur 1-Norm bei der sich ein verallgemeinerter Oktaeder ergibt. Nur in Dimension haben beide die Gestalt eines Würfels.

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Eine Elliptische Norm

Ist die Abbildung

\[ s(v,w):=v^TAw \]

positiv definit, so ergibt sich durch

\[ \Vert v\Vert_s:=\sqrt{s(v,v)} \]

eine Norm. Der Einheitskreis ist in diesem Fall eine Ellipse, deren Hauptrichtungen den Einheitsvektoren der Matrix $A$ entsprechen. Das Gebiet gleicher Distanz zweier Punkte ergibt sich wiederum als eine Gerade.

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