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Affine und projektive Transformationen.

Im letzten Beispiel haben wir gesehen, wie sich Translationen durch Multiplikation mit geeigneten $3\times 3$-Matrizen darstellen lassen. Hierbei waren sehr viele Einträge der Matrix entweder $0$ oder $1$. Wählt man für diese Einträge auch noch echte Parameter, so erhält man interessante Klassen von geometrischen Transformationen.

So stellt die folgende Matrixoperation

\[ \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{ccc} a&b&p\\ c&d&q \\0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} ax+by+p\\ cx+dy+q \\1\end{array}\right) \]

eine allgemeine affine Transformation dar. Diese Transformationen können in dieser Darstellung wieder durch Matrixmultiplikation verkettet werden.

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Erlaubt man ferner noch echte Einträge in der letzten Matrixzeile, so erhält man die Klasse der projektiven Transformationen. Hierbei muss man in der Darstellung der Punkte allerdings noch skalare Vielfache eines Punktes zu Äquivalenzklassen zusammenfassen, da nicht mehr sichergestellt ist, dass diese Transformationen die $1$ im letzten Eintrag des Punktes erhalten.

Mit der vollständigen algebraischen Theorie hinter solchen Transformationen beschäftigt sich die projektive Geometrie.

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