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Interpolation algebraischer Kurven

Eine algebraische Kurve im $\R^2$ ist das Nullstellengebilde eines Polynoms

\[ f(x,y):=\sum a_{i,j}x^i y^j \]

in zwei Variablen. Als Grad des Polynomes wird dabei das Maximum des Wertes $i+j$ über alle nicht verschwindenden Summanden bezeichnet. Ein Polynom von Grad 1 ist somit ein Polynom der Form

\[ a_{0,0}{\color{DarkRed}\;+\;a_{1,0}x+a_{0,1}y}. \]

Die entsprechende Nullstellenmenge ist eine Gerade. Polynome zweiten Grades haben die Form

\[ a_{0,0}{\color{DarkRed}\;+\;a_{1,0}x+a_{0,1}y}{\color{DarkGreen}\;+\; a_{2,0}x^2+a_{1,1}xy+a_{0,2}y^2}. \]

Als Nullstellengebilde ergeben sich alle möglichen Kegelschnitte (diese können gegebenenfalls zu zwei oder einer Geraden degenerieren). Gleichungen dritten Drades (so genannte kubische Gleichungen) haben die Form

\[ a_{0,0}{\color{DarkRed}\;+\; a_{1,0}x+a_{0,1}y}{\color{DarkGreen}\;+\;a_{2,0}x^2+a_{1,1}xy+a_{0,2}y^2}{\color{DarkBlue}\;+\;a_{3,0}x^3+a_{2,1}x^2y+a_{1,2}xy^2+a_{0,3}y^3}. \]

Im Allgemeinen haben Gleichungen vom Grad $d$ insgesamt $(d+1)(d+2))/2$ Summanden, wobei mindestens einer der Summanden mit höchstem Grad nicht verschwinden sollte. Die linearen, quadratischen und kubischen Anteile der Polynome sind hierbei jeweils mit unterschiedlichen Farben gekennzeichnet.

Das Nullstellengebilde von $f(x,y)$ und $\lambda f(x,y); \lambda\neq 0$ unterscheidet sich nicht, also kann man immer annehmen, dass einer der nicht verschwindenden Paramter auf den Wert $1$ normiert wurde. Dies bedeutet, dass eine lineare Kurve im Wesentlichen durch zwei Parameter bestimmt ist, ein Kegelschnitt im Wesentlichen durch fünf Parameter, eine Kubik durch neun Parameter und so weiter. Diese Parameter werden durch die Position von entsprechend vielen Punkten im Allgemeinen eindeutig festgelegt.

So geht z.B. durch fünf Punkte (bis auf verschwindend wenige degenerierte Fälle) im Allgemeinen genau ein Kegelschnitt. Am Beispiel des Kegelschnittes soll erläutert werden, wie man die entsprechenden Parameter durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmen kann.

Hierfür seien fünf Punkte $(x_1,y_1),\;(x_2,y_2),\;(x_3,y_3),\;(x_4,y_4),\;(x_5,y_5)$ gegeben. Wir normieren (unter Vernachlässigung einiger weniger Spezialfälle) den konstanten Term $a_{0,0}$ zu $1$ und suchen nach Parametern $a,b,c,d,e$, so dass die Gleichungen

\[ {\color{DarkRed}ax_i+by_i}{\color{DarkGreen}\;+\; cx_i^2+dx_iy_i+ey_i^2}=-1 \]

für alle $i=1,\ldots,5$ erfüllt sind. Dies ist nichts anderes als ein lineares Gleichungssystem. In Matrixform ergibt sich:

\[ \left( \begin{array}{ccccc} x_1&y_1&x_1^2&x_1y_1&y_1^2 \\ x_2&y_2&x_2^2&x_2y_2&y_2^2 \\ x_3&y_3&x_3^2&x_3y_3&y_3^2 \\ x_4&y_4&x_4^2&x_4y_4&y_4^2 \\ x_5&y_5&x_5^2&x_5y_5&y_5^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{array} \right) = -\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right) \]

Löst man dieses Gleichungssystem, erhält man die gesuchten Parameter. Das folgende Applet demonstriert das Verhalten eines Kegelschnittes durch fünf gegebene Punkte.

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In vollkommen analoger Weise kann man die Parameter einer Gleichung dritten Grades durch neun gegebene Punkte bestimmen.

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Ebenso ergibt sich eine Quartik (Nullstellengebilde eines Polynoms vierten Grades) durch 14 Punkte.

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