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Hermite Interpolation

Lagrange Interpolation hat einen sehr großen Nachteil: Bei größeren Punktmengen kann sich die resultierende Funktion zu den Rändern hin sehr stark aufschwingen. Dies führt oftmals zu nicht befriedigenden Ergebnissen. Das folgende Applet verdeutlicht diesen Effekt anhand von einem Langrange Polynom durch acht Punkte.

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Es gibt mehrere Möglichkeiten, für eine solche Situation Abhilfe zu schaffen. Das Lagrange Polynom ist durch die Stützstellen und die Gradangabe eindeutig bestimmt. Also muss man die Modellierung der Interpolationsaufgabe entsprechend ändern. Eine Möglichkeit besteht z.B. darin, den Grad des Polynomes bewusst zu erhöhen, um mehr Kontrolle über die verwendeten Steigungen zu erhalten. Ein anderer Ansatz besteht darin, statt mit einem durchgehenden Polynom mit einer stückweise polynomialen Funktion zu arbeiten, bei der von Stützstelle zu Stützstelle die verwendeten Polynomparameter geändert werden dürfen.

Wir wollen hier das Ergebnis eines Ansatzes vorstellen, bei dem man die beiden eben genannten Methoden kombiniert. Im folgenden Applet wird zwischen zwei Stützstellen ein Stück eines Polynomes dritten Grades gezeichnet. Die vier Freiheitsgrade des Polynoms werden dazu benutzt, sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen zu kontrollieren. Somit erhält man Polynomstücke vom Grad 3, die an den Stützstellen stetig und tangentenstetig zusammentreffen. Die Steigungen an den Stützstellen können explizit kontrolliert werden.

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