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Interpolation parametrisierter Kurven

Es kommt oftmals vor, dass als Interpolationsaufgabe nicht die Interpolation einer Funktion $\R\to\R$ gefordert ist, sondern eine möglichst glatte Kurve gesucht ist, die durch $n$ Punkte $(x_i,y_i)$ der Ebene in vorgegebener Reihenfolge laufen soll. Im Unterschied zum Interpolationsproblem im letzten Beispiel werden hierbei die $y_i$ nicht als Funktion der $x_i$ aufgefasst. Vielmehr werden diese als vollkommen gleichwertig behandelt.

Eine sinnvolle Modellierung dieses Problems besteht darin, die $x_i$ und die $y_i$ unabhängig voneinander als Funktionswerte $x(t_i)$ und $y(t_i)$ aufzufassen, wobei die $t_i$ die Rolle der Stützstellen spielen. In der Wahl der Stützstellen $t_i$ hat man einige Modellierungsfreiheit, solange nur die Bedingung

\[ t_1<t_1<\cdots<t_n \]

erfüllt ist. Für jede solche Wahl ergibt sich eine etwas andere konkrete Kurve. Das Applet unten zeigt die Situation für die einfachst mögliche Wahl $t_i=i$.

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