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Bild eines Ursprungskreises unter einem Polynom

Hier kann man das Bild eines Ursprungskreises unter einem Polynom

\[ f(z):=a+bz+cz^2+dz^3+ez^4 \]

betrachten. Die Parameter $a,b,c,d,e$ sind frei bewegbar.

Ist der Kreis , so dominiert der lineare Term und das Bild des Kreises ist ein sehr kleiner Kringel um den Punkt $a$. Ist hingegen der Ursprungskreis , so dominiert der Term mit der höchsten Potenz. In diesem Falle wird das Bild des Ursprungskreises den Nullpunkt mehrmals umlaufen.

Für einen geeigneten Zwischenwert trifft das Bild des Kreises den Ursprung. Auf dem Kreis, der diesem Zwischenwert entspricht, muss es eine Nullstelle des Polynoms geben. Mit ein wenig formalem Aufwand kann man dieses Argument zu einem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra ausbauen: Jedes Polynom hat wenigstens eine komplexe Nullstelle.

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