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Komplexe Addition und Multiplikation

Eine ganze komplexe Zahl ist eine Zahl der Form $a+i\cdot b$, bei der sowohl der Realteil $a$ als auch der Imaginärteil $b$ eine ganze Zahl ist. Addition und Multiplikation zweier ganzer komplexer Zahlen erzeugt wieder eine ganze komplexe Zahl.

In den folgenden Applets sind die Zahlen $a$ und $b$ auf dem ganzzahligen Gitter bewegbar.

Komplexe Addition

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Die Komplexe Addition erfolgt gemäß der Regel

\[ (a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2). \]


Komplexe Multiplikation

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Die komplexe Multiplikation erfolgt gemäß der Regel

\[ (a_1+ib_1)(a_2+ib_2)=(a_1b_1-a_2b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1). \]


Beide Operationen kann man einfach herleiten, indem man zunächst $i$ als eine (Maß-)Einheit auffasst, nach den normalen Rechenregeln ausklammert und dann wie üblich zusammenfasst, dabei aber beachtet, dass die Regel $i^2 =-1$ gilt.

Man beachte, dass mit diesen Operationen die Menge $(\mathbb{Z}^2,+,\cdot)$ zwar einen Ring, aber keinen Körper bildet (die multiplikativen Inversen fehlen).


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