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Skalarprodukt und Nebenklassen

Ein Skalarprodukt (und insbesondere das kanonische Skalarprodukt) ist linear in beiden Argumenten. Betrachten wir das Skalarprodukt $\langle v,w \rangle$ als eine lineare Funktion $f_w(v):=\langle v,w \rangle$ im ersten Argument. Der Kern dieser Abbildung ist $\mbox{Kern}(f_w):=\{ v \vert \langle v,w \rangle=0\}$. Dies ist die Menge aller Vektoren, die senkrecht auf $w$ stehen. Die Dimension dieses Kernes ist um 1 geringer als die Dimension des umgebenden Vektrorraumes. Die Nebenklassen zu diesem Kern sind alle Parallelen zu diesem Kern. Bewegt man $v$ entlang einer dieser Parallelen, so bleibt das Skalarprodukt konstant.

Im folgenden Applet kann man diesen Effekt nachvollziehen. Bewegt man $v$ entlang einer der angedeuteten Geraden (die alle senkrecht auf dem Vektor $w$ stehen), so ändert sich das Skalarprodukt nicht.

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